Atrisiniet 16x^2-128x+319=0

$$16 { x }^{ 2 } -128x+319=0$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4\approx 4+1,984313483i$$

$$x=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4\approx 4-1,984313483i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$16x^{2}-128x+319=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 16, b ar -128 un c ar 319.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{\left(-128\right)^{2}-4\times 16\times 319}}{2\times 16}$$

Kāpiniet -128 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-4\times 16\times 319}}{2\times 16}$$

Reiziniet -4 reiz 16.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-64\times 319}}{2\times 16}$$

Reiziniet -64 reiz 319.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-20416}}{2\times 16}$$

Pieskaitiet 16384 pie -20416.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{-4032}}{2\times 16}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -4032.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±24\sqrt{7}i}{2\times 16}$$

Skaitļa -128 pretstats ir 128.

$$x=\frac{128±24\sqrt{7}i}{2\times 16}$$

Reiziniet 2 reiz 16.

$$x=\frac{128±24\sqrt{7}i}{32}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{128±24\sqrt{7}i}{32}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 128 pie 24i\sqrt{7}.

$$x=\frac{128+24\sqrt{7}i}{32}$$

Daliet 128+24i\sqrt{7} ar 32.

$$x=\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{128±24\sqrt{7}i}{32}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 24i\sqrt{7} no 128.

$$x=\frac{-24\sqrt{7}i+128}{32}$$

Daliet 128-24i\sqrt{7} ar 32.

$$x=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4 x=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-128x+319=0$$

Atņemiet 319 no vienādojuma abām pusēm.

$$16x^{2}-128x+319-319=-319$$

Atņemot 319 no sevis, paliek 0.

$$16x^{2}-128x=-319$$

Daliet abas puses ar 16.

$$\frac{16x^{2}-128x}{16}=-\frac{319}{16}$$

Dalīšana ar 16 atsauc reizināšanu ar 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{128}{16}\right)x=-\frac{319}{16}$$

Daliet -128 ar 16.

$$x^{2}-8x=-\frac{319}{16}$$

Daliet locekļa x koeficientu -8 ar 2, lai iegūtu -4. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -4 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-\frac{319}{16}+\left(-4\right)^{2}$$

Kāpiniet -4 kvadrātā.

$$x^{2}-8x+16=-\frac{319}{16}+16$$

Pieskaitiet -\frac{319}{16} pie 16.

$$x^{2}-8x+16=-\frac{63}{16}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-8x+16. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-\frac{63}{16}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{16}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-4=\frac{3\sqrt{7}i}{4} x-4=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}$$

Pieskaitiet 4 abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4 x=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4$$