Atrisiniet 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Atrast x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 15x^{2}+ax+bx+2. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 11.

$$a=5 b=6$$

Pārrakstiet 15x^{2}+11x+2 kā \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Sadaliet 5x pirmo un 2 otrajā grupā.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 3x+1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 3x+1=0 un 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 15, b ar 11 un c ar 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Kāpiniet 11 kvadrātā.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Reiziniet -4 reiz 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Reiziniet -60 reiz 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Pieskaitiet 121 pie -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Reiziniet 2 reiz 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-11±1}{30}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -11 pie 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-10}{30} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-11±1}{30}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 1 no -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-12}{30} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Atņemiet 2 no vienādojuma abām pusēm.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Atņemot 2 no sevis, paliek 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Daliet abas puses ar 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Dalīšana ar 15 atsauc reizināšanu ar 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{11}{15} ar 2, lai iegūtu \frac{11}{30}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{11}{30} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{11}{30}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Pieskaitiet -\frac{2}{15} pie \frac{121}{900}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Atņemiet \frac{11}{30} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$