Atrisiniet 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Sadalīt reizinātājos

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Atrisinājuma darbības

Sadaliet izteiksmi reizinātājos, izmantojot grupēšanu. Vispirms izteiksme ir jāpārraksta kā 15x^{2}+ax+bx-16. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -8.

$$a=-20 b=12$$

Pārrakstiet 15x^{2}-8x-16 kā \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Sadaliet 5x pirmo un 4 otrajā grupā.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 3x-4 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Kāpiniet -8 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Reiziniet -4 reiz 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Reiziniet -60 reiz -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Pieskaitiet 64 pie 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

Skaitļa -8 pretstats ir 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Reiziniet 2 reiz 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{8±32}{30}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 8 pie 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Vienādot daļskaitli \frac{40}{30} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 10.

$$x=\frac{4}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{8±32}{30}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 32 no 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-24}{30} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Sadaliet sākotnējo izteiksmi, izmantojot ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Aizvietojiet \frac{4}{3} ar x_{1} un -\frac{4}{5} ar x_{2}.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Vienkāršojiet visas formas p-\left(-q\right) izteiksmes uz p+q.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Atņemiet \frac{4}{3} no x, atrodot kopsaucēju un atņemot skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Pieskaitiet \frac{4}{5} pie x, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Reiziniet \frac{3x-4}{3} ar \frac{5x+4}{5}, reizinot skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajam loceklim.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Reiziniet 3 reiz 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Noīsiniet lielāko kopējo reizinātāju 15 šeit: 15 un 15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Izrēķināt

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$