Atrisiniet 144x^2-128x+64=256

$$144 { x }^{ 2 } -128x+64=256$$

Atrast x

$$x = \frac{2 \sqrt{31} + 4}{9} \approx 1,681725414$$

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{9}\approx -0,792836525$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$144x^{2}-128x+64=256$$

Atņemiet 256 no vienādojuma abām pusēm.

$$144x^{2}-128x+64-256=256-256$$

Atņemot 256 no sevis, paliek 0.

$$144x^{2}-128x+64-256=0$$

Atņemiet 256 no 64.

$$144x^{2}-128x-192=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 144, b ar -128 un c ar -192.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{\left(-128\right)^{2}-4\times 144\left(-192\right)}}{2\times 144}$$

Kāpiniet -128 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-4\times 144\left(-192\right)}}{2\times 144}$$

Reiziniet -4 reiz 144.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-576\left(-192\right)}}{2\times 144}$$

Reiziniet -576 reiz -192.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384+110592}}{2\times 144}$$

Pieskaitiet 16384 pie 110592.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{126976}}{2\times 144}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 126976.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±64\sqrt{31}}{2\times 144}$$

Skaitļa -128 pretstats ir 128.

$$x=\frac{128±64\sqrt{31}}{2\times 144}$$

Reiziniet 2 reiz 144.

$$x=\frac{128±64\sqrt{31}}{288}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{128±64\sqrt{31}}{288}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 128 pie 64\sqrt{31}.

$$x=\frac{64\sqrt{31}+128}{288}$$

Daliet 128+64\sqrt{31} ar 288.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{9}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{128±64\sqrt{31}}{288}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 64\sqrt{31} no 128.

$$x=\frac{128-64\sqrt{31}}{288}$$

Daliet 128-64\sqrt{31} ar 288.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{9}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{9} x=\frac{4-2\sqrt{31}}{9}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$144x^{2}-128x+64=256$$

Atņemiet 64 no vienādojuma abām pusēm.

$$144x^{2}-128x+64-64=256-64$$

Atņemot 64 no sevis, paliek 0.

$$144x^{2}-128x=256-64$$

Atņemiet 64 no 256.

$$144x^{2}-128x=192$$

Daliet abas puses ar 144.

$$\frac{144x^{2}-128x}{144}=\frac{192}{144}$$

Dalīšana ar 144 atsauc reizināšanu ar 144.

$$x^{2}+\left(-\frac{128}{144}\right)x=\frac{192}{144}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-128}{144} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 16.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x=\frac{192}{144}$$

Vienādot daļskaitli \frac{192}{144} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 48.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x=\frac{4}{3}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{8}{9} ar 2, lai iegūtu -\frac{4}{9}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{4}{9} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{4}{9}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{4}{3}+\frac{16}{81}$$

Pieskaitiet \frac{4}{3} pie \frac{16}{81}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{124}{81}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{124}{81}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{124}{81}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{4}{9}=\frac{2\sqrt{31}}{9} x-\frac{4}{9}=-\frac{2\sqrt{31}}{9}$$

Pieskaitiet \frac{4}{9} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{9} x=\frac{4-2\sqrt{31}}{9}$$