Atrisiniet 14x^2+3x-2=0

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

Atrast x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 14x^{2}+ax+bx-2. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 3.

$$a=-4 b=7$$

Pārrakstiet 14x^{2}+3x-2 kā \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right).

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

Iznesiet reizinātāju 2x pirms iekavām izteiksmē 14x^{2}-4x.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 7x-2 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 7x-2=0 un 2x+1=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 14, b ar 3 un c ar -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Kāpiniet 3 kvadrātā.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Reiziniet -4 reiz 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Reiziniet -56 reiz -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

Pieskaitiet 9 pie 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

Reiziniet 2 reiz 14.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-3±11}{28}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -3 pie 11.

$$x=\frac{8}{28}$$

Vienādot daļskaitli \frac{8}{28} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=\frac{2}{7}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-3±11}{28}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 11 no -3.

$$x=-\frac{14}{28}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-14}{28} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Pieskaitiet 2 abās vienādojuma pusēs.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Atņemot -2 no sevis, paliek 0.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

Atņemiet -2 no 0.

$$14x^{2}+3x=2$$

Daliet abas puses ar 14.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

Dalīšana ar 14 atsauc reizināšanu ar 14.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{14} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{3}{14} ar 2, lai iegūtu \frac{3}{28}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{3}{28} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{3}{28}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

Pieskaitiet \frac{1}{7} pie \frac{9}{784}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

Atņemiet \frac{3}{28} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$