Atrisiniet 14x^2+2x=3

$$14 x ^ { 2 } + 2 x = 3$$

Atrast x

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14}\approx 0,396959895$$

$$x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}\approx -0,539817037$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$14x^{2}+2x=3$$

Atņemiet 3 no vienādojuma abām pusēm.

$$14x^{2}+2x-3=3-3$$

Atņemot 3 no sevis, paliek 0.

$$14x^{2}+2x-3=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 14, b ar 2 un c ar -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 14\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Kāpiniet 2 kvadrātā.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 14\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Reiziniet -4 reiz 14.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-56\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Reiziniet -56 reiz -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+168}}{2\times 14}$$

Pieskaitiet 4 pie 168.

$$x=\frac{-2±\sqrt{172}}{2\times 14}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 172.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{2\times 14}$$

Reiziniet 2 reiz 14.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{28}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{28}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -2 pie 2\sqrt{43}.

$$x=\frac{2\sqrt{43}-2}{28}$$

Daliet -2+2\sqrt{43} ar 28.

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{28}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{43} no -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{43}-2}{28}$$

Daliet -2-2\sqrt{43} ar 28.

$$x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14} x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}+2x=3$$

Daliet abas puses ar 14.

$$\frac{14x^{2}+2x}{14}=\frac{3}{14}$$

Dalīšana ar 14 atsauc reizināšanu ar 14.

$$x^{2}+\frac{2}{14}x=\frac{3}{14}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{14} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x=\frac{3}{14}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{1}{7} ar 2, lai iegūtu \frac{1}{14}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{1}{14} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\left(\frac{1}{14}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(\frac{1}{14}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{1}{14}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=\frac{3}{14}+\frac{1}{196}$$

Pieskaitiet \frac{3}{14} pie \frac{1}{196}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=\frac{43}{196}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{14}\right)^{2}=\frac{43}{196}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43}{196}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{1}{14}=\frac{\sqrt{43}}{14} x+\frac{1}{14}=-\frac{\sqrt{43}}{14}$$

Atņemiet \frac{1}{14} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14} x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}$$