Atrisiniet 14x^2-25x+69=125

$$14 { x }^{ 2 } -25x+69=125$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{3761} + 25}{28} \approx 3,083106872$$

$$x=\frac{25-\sqrt{3761}}{28}\approx -1,297392587$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$14x^{2}-25x+69=125$$

Atņemiet 125 no vienādojuma abām pusēm.

$$14x^{2}-25x+69-125=125-125$$

Atņemot 125 no sevis, paliek 0.

$$14x^{2}-25x+69-125=0$$

Atņemiet 125 no 69.

$$14x^{2}-25x-56=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 14, b ar -25 un c ar -56.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 14\left(-56\right)}}{2\times 14}$$

Kāpiniet -25 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 14\left(-56\right)}}{2\times 14}$$

Reiziniet -4 reiz 14.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-56\left(-56\right)}}{2\times 14}$$

Reiziniet -56 reiz -56.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+3136}}{2\times 14}$$

Pieskaitiet 625 pie 3136.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{3761}}{2\times 14}$$

Skaitļa -25 pretstats ir 25.

$$x=\frac{25±\sqrt{3761}}{2\times 14}$$

Reiziniet 2 reiz 14.

$$x=\frac{25±\sqrt{3761}}{28}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{25±\sqrt{3761}}{28}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 25 pie \sqrt{3761}.

$$x=\frac{\sqrt{3761}+25}{28}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{25±\sqrt{3761}}{28}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet \sqrt{3761} no 25.

$$x=\frac{25-\sqrt{3761}}{28}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{3761}+25}{28} x=\frac{25-\sqrt{3761}}{28}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-25x+69=125$$

Atņemiet 69 no vienādojuma abām pusēm.

$$14x^{2}-25x+69-69=125-69$$

Atņemot 69 no sevis, paliek 0.

$$14x^{2}-25x=125-69$$

Atņemiet 69 no 125.

$$14x^{2}-25x=56$$

Daliet abas puses ar 14.

$$\frac{14x^{2}-25x}{14}=\frac{56}{14}$$

Dalīšana ar 14 atsauc reizināšanu ar 14.

$$x^{2}-\frac{25}{14}x=\frac{56}{14}$$

Daliet 56 ar 14.

$$x^{2}-\frac{25}{14}x=4$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{25}{14} ar 2, lai iegūtu -\frac{25}{28}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{25}{28} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{25}{14}x+\left(-\frac{25}{28}\right)^{2}=4+\left(-\frac{25}{28}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{25}{28}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{25}{14}x+\frac{625}{784}=4+\frac{625}{784}$$

Pieskaitiet 4 pie \frac{625}{784}.

$$x^{2}-\frac{25}{14}x+\frac{625}{784}=\frac{3761}{784}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{25}{14}x+\frac{625}{784}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{28}\right)^{2}=\frac{3761}{784}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3761}{784}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{25}{28}=\frac{\sqrt{3761}}{28} x-\frac{25}{28}=-\frac{\sqrt{3761}}{28}$$

Pieskaitiet \frac{25}{28} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{3761}+25}{28} x=\frac{25-\sqrt{3761}}{28}$$