Atrisiniet 13x^2-5x-20=0

$$13 x ^ { 2 } - 5 x - 20 = 0$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{1065} + 5}{26} \approx 1,447474529$$

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}\approx -1,062859144$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$13x^{2}-5x-20=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 13, b ar -5 un c ar -20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

Kāpiniet -5 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

Reiziniet -4 reiz 13.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-52\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

Reiziniet -52 reiz -20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+1040}}{2\times 13}$$

Pieskaitiet 25 pie 1040.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

Skaitļa -5 pretstats ir 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

Reiziniet 2 reiz 13.

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 5 pie \sqrt{1065}.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet \sqrt{1065} no 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$13x^{2}-5x-20=0$$

Pieskaitiet 20 abās vienādojuma pusēs.

$$13x^{2}-5x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Atņemot -20 no sevis, paliek 0.

$$13x^{2}-5x=-\left(-20\right)$$

Atņemiet -20 no 0.

$$13x^{2}-5x=20$$

Daliet abas puses ar 13.

$$\frac{13x^{2}-5x}{13}=\frac{20}{13}$$

Dalīšana ar 13 atsauc reizināšanu ar 13.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x=\frac{20}{13}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{5}{13} ar 2, lai iegūtu -\frac{5}{26}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{5}{26} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{5}{26}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{20}{13}+\frac{25}{676}$$

Pieskaitiet \frac{20}{13} pie \frac{25}{676}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{1065}{676}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{1065}{676}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1065}{676}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{5}{26}=\frac{\sqrt{1065}}{26} x-\frac{5}{26}=-\frac{\sqrt{1065}}{26}$$

Pieskaitiet \frac{5}{26} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$