Atrisiniet 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Atrast n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 13n^{2}+an+bn-120. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -41.

$$a=-65 b=24$$

Pārrakstiet 13n^{2}-41n-120 kā \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Sadaliet 13n pirmo un 24 otrajā grupā.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju n-5 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet n-5=0 un 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 13, b ar -41 un c ar -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Kāpiniet -41 kvadrātā.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Reiziniet -4 reiz 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Reiziniet -52 reiz -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Pieskaitiet 1681 pie 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Skaitļa -41 pretstats ir 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Reiziniet 2 reiz 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{41±89}{26}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 41 pie 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Daliet 130 ar 26.

$$n=5$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{41±89}{26}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 89 no 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-48}{26} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Pieskaitiet 120 abās vienādojuma pusēs.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Atņemot -120 no sevis, paliek 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Atņemiet -120 no 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Daliet abas puses ar 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Dalīšana ar 13 atsauc reizināšanu ar 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{41}{13} ar 2, lai iegūtu -\frac{41}{26}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{41}{26} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{41}{26}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Pieskaitiet \frac{120}{13} pie \frac{1681}{676}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Sadaliet reizinātājos n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Vienkāršojiet.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Pieskaitiet \frac{41}{26} abās vienādojuma pusēs.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$