Atrisiniet 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Atrast n

$$n=6$$

$$n=15$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 12 ar n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Atņemiet 30 no -48, lai iegūtu -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Atņemiet n^{2} no abām pusēm.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Pievienot 9n abās pusēs.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Savelciet 12n un 9n, lai iegūtu 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Atņemiet 12 no abām pusēm.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Atņemiet 12 no -78, lai iegūtu -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -n^{2}+an+bn-90. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 21.

$$a=15 b=6$$

Pārrakstiet -n^{2}+21n-90 kā \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Sadaliet -n pirmo un 6 otrajā grupā.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju n-15 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet n-15=0 un -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 12 ar n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Atņemiet 30 no -48, lai iegūtu -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Atņemiet n^{2} no abām pusēm.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Pievienot 9n abās pusēs.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Savelciet 12n un 9n, lai iegūtu 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Atņemiet 12 no abām pusēm.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Atņemiet 12 no -78, lai iegūtu -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 21 un c ar -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 21 kvadrātā.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 441 pie -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{-21±9}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -21 pie 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Daliet -12 ar -2.

$$n=6$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{-21±9}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 9 no -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Daliet -30 ar -2.

$$n=15$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$n=6 n=15$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 12 ar n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Atņemiet 30 no -48, lai iegūtu -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Atņemiet n^{2} no abām pusēm.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Pievienot 9n abās pusēs.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Savelciet 12n un 9n, lai iegūtu 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Pievienot 78 abās pusēs.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Saskaitiet 12 un 78, lai iegūtu 90.

$$21n-n^{2}=90$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Daliet 21 ar -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Daliet 90 ar -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Daliet locekļa x koeficientu -21 ar 2, lai iegūtu -\frac{21}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{21}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{21}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Pieskaitiet -90 pie \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Sadaliet reizinātājos n^{2}-21n+\frac{441}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Pieskaitiet \frac{21}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$n=15 n=6$$