Atrisiniet 11=1+20x-49x^2

$$11=1+20x-49 { x }^{ 2 }$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}\approx 0,204081633-0,403028932i$$

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}\approx 0,204081633+0,403028932i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Mainiet puses tā, lai visi mainīgie locekļi atrastos pa kreisi.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Atņemiet 11 no abām pusēm.

$$1+20x-49x^{2}-11=0$$

Atņemiet 11 no 1, lai iegūtu -10.

$$-10+20x-49x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-49x^{2}+20x-10=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -49, b ar 20 un c ar -10.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Kāpiniet 20 kvadrātā.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -49.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+196\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Reiziniet 196 reiz -10.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-1960}}{2\left(-49\right)}$$

Pieskaitiet 400 pie -1960.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-1560}}{2\left(-49\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -1560.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{2\left(-49\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -49.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -20 pie 2i\sqrt{390}.

$$x=\frac{-20+2\sqrt{390}i}{-98}$$

Daliet -20+2i\sqrt{390} ar -98.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2i\sqrt{390} no -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{390}i-20}{-98}$$

Daliet -20-2i\sqrt{390} ar -98.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49} x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Mainiet puses tā, lai visi mainīgie locekļi atrastos pa kreisi.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Atņemiet 1 no abām pusēm.

$$20x-49x^{2}=11-1$$

Atņemiet 1 no 11, lai iegūtu 10.

$$20x-49x^{2}=10$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-49x^{2}+20x=10$$

Daliet abas puses ar -49.

$$\frac{-49x^{2}+20x}{-49}=\frac{10}{-49}$$

Dalīšana ar -49 atsauc reizināšanu ar -49.

$$x^{2}+\frac{20}{-49}x=\frac{10}{-49}$$

Daliet 20 ar -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=\frac{10}{-49}$$

Daliet 10 ar -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=-\frac{10}{49}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{20}{49} ar 2, lai iegūtu -\frac{10}{49}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{10}{49} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{10}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{10}{49}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{10}{49}+\frac{100}{2401}$$

Pieskaitiet -\frac{10}{49} pie \frac{100}{2401}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{390}{2401}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{390}{2401}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{390}{2401}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{10}{49}=\frac{\sqrt{390}i}{49} x-\frac{10}{49}=-\frac{\sqrt{390}i}{49}$$

Pieskaitiet \frac{10}{49} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49} x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$