Atrisiniet 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Atrast y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 3y^{2} no abām pusēm.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Pievienot 4 abās pusēs.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -3y^{2}+ay+by+4. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 11.

$$a=12 b=-1$$

Pārrakstiet -3y^{2}+11y+4 kā \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Iznesiet reizinātāju 3y pirms iekavām izteiksmē -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Iznesiet kopējo reizinātāju -y+4 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet -y+4=0 un 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Atņemiet 3y^{2} no abām pusēm.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Pievienot 4 abās pusēs.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -3, b ar 11 un c ar 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Kāpiniet 11 kvadrātā.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Reiziniet 12 reiz 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Pieskaitiet 121 pie 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{-11±13}{-6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -11 pie 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{-6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{-11±13}{-6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 13 no -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Daliet -24 ar -6.

$$y=4$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Atņemiet 3y^{2} no abām pusēm.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Daliet abas puses ar -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Dalīšana ar -3 atsauc reizināšanu ar -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Daliet 11 ar -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Daliet -4 ar -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{11}{3} ar 2, lai iegūtu -\frac{11}{6}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{11}{6} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{11}{6}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Pieskaitiet \frac{4}{3} pie \frac{121}{36}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Sadaliet reizinātājos y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Vienkāršojiet.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Pieskaitiet \frac{11}{6} abās vienādojuma pusēs.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$