Atrisiniet 11x^2-98x-120=0

$$11 x ^ { 2 } - 98 x - 120 = 0$$

Atrast x

$$x = -\frac{12}{11} = -1\frac{1}{11} \approx -1,090909091$$

$$x=10$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 11x^{2}+ax+bx-120. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-98 ab=11\left(-120\right)=-1320$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -1320.

$$1,-1320 2,-660 3,-440 4,-330 5,-264 6,-220 8,-165 10,-132 11,-120 12,-110 15,-88 20,-66 22,-60 24,-55 30,-44 33,-40$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-1320=-1319 2-660=-658 3-440=-437 4-330=-326 5-264=-259 6-220=-214 8-165=-157 10-132=-122 11-120=-109 12-110=-98 15-88=-73 20-66=-46 22-60=-38 24-55=-31 30-44=-14 33-40=-7$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -98.

$$a=-110 b=12$$

Pārrakstiet 11x^{2}-98x-120 kā \left(11x^{2}-110x\right)+\left(12x-120\right).

$$\left(11x^{2}-110x\right)+\left(12x-120\right)$$

Sadaliet 11x pirmo un 12 otrajā grupā.

$$11x\left(x-10\right)+12\left(x-10\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-10 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-10\right)\left(11x+12\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-10=0 un 11x+12=0.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$11x^{2}-98x-120=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 11, b ar -98 un c ar -120.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{\left(-98\right)^{2}-4\times 11\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Kāpiniet -98 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-4\times 11\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Reiziniet -4 reiz 11.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-44\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Reiziniet -44 reiz -120.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604+5280}}{2\times 11}$$

Pieskaitiet 9604 pie 5280.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{14884}}{2\times 11}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 14884.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±122}{2\times 11}$$

Skaitļa -98 pretstats ir 98.

$$x=\frac{98±122}{2\times 11}$$

Reiziniet 2 reiz 11.

$$x=\frac{98±122}{22}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{98±122}{22}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 98 pie 122.

$$x=\frac{220}{22}$$

Daliet 220 ar 22.

$$x=10$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{98±122}{22}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 122 no 98.

$$x=-\frac{24}{22}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-24}{22} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{12}{11}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-98x-120=0$$

Pieskaitiet 120 abās vienādojuma pusēs.

$$11x^{2}-98x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Atņemot -120 no sevis, paliek 0.

$$11x^{2}-98x=-\left(-120\right)$$

Atņemiet -120 no 0.

$$11x^{2}-98x=120$$

Daliet abas puses ar 11.

$$\frac{11x^{2}-98x}{11}=\frac{120}{11}$$

Dalīšana ar 11 atsauc reizināšanu ar 11.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x=\frac{120}{11}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{98}{11} ar 2, lai iegūtu -\frac{49}{11}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{49}{11} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\left(-\frac{49}{11}\right)^{2}=\frac{120}{11}+\left(-\frac{49}{11}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{49}{11}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}=\frac{120}{11}+\frac{2401}{121}$$

Pieskaitiet \frac{120}{11} pie \frac{2401}{121}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}=\frac{3721}{121}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{49}{11}\right)^{2}=\frac{3721}{121}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{49}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3721}{121}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{49}{11}=\frac{61}{11} x-\frac{49}{11}=-\frac{61}{11}$$

Pieskaitiet \frac{49}{11} abās vienādojuma pusēs.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$