Atrisiniet 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0,454545455+0,987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0,454545455-0,987525499i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 11, b ar -10 un c ar 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Kāpiniet -10 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Reiziniet -4 reiz 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Reiziniet -44 reiz 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Pieskaitiet 100 pie -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -472.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Skaitļa -10 pretstats ir 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Reiziniet 2 reiz 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 10 pie 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Daliet 10+2i\sqrt{118} ar 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2i\sqrt{118} no 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Daliet 10-2i\sqrt{118} ar 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Atņemiet 13 no vienādojuma abām pusēm.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

Atņemot 13 no sevis, paliek 0.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Daliet abas puses ar 11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

Dalīšana ar 11 atsauc reizināšanu ar 11.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{10}{11} ar 2, lai iegūtu -\frac{5}{11}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{5}{11} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{5}{11}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Pieskaitiet -\frac{13}{11} pie \frac{25}{121}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Pieskaitiet \frac{5}{11} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$