Atrisiniet 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Atrast x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 11, b ar -9 un c ar 1.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Veiciet aprēķinus.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Atrisiniet vienādojumu x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Lai reizinājums būtu pozitīvs, abām vērtībām x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} un x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} ir jābūt negatīvām vai pozitīvām. Apsveriet gadījumu, kur abas vērtības x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} un x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} ir negatīvas.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Apsveriet gadījumu, kur abas vērtības x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} un x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} ir pozitīvas.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$