Atrisiniet 1000x^2-590x-561=0

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

Atrast x

$$x=-\frac{51}{100}=-0,51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1,1$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 1000x^{2}+ax+bx-561. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -561000.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -590.

$$a=-1100 b=510$$

Pārrakstiet 1000x^{2}-590x-561 kā \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right).

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

Sadaliet 100x pirmo un 51 otrajā grupā.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 10x-11 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 10x-11=0 un 100x+51=0.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1000, b ar -590 un c ar -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Kāpiniet -590 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Reiziniet -4 reiz 1000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Reiziniet -4000 reiz -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

Pieskaitiet 348100 pie 2244000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 2592100.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

Skaitļa -590 pretstats ir 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

Reiziniet 2 reiz 1000.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{590±1610}{2000}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 590 pie 1610.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2200}{2000} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 200.

$$x=\frac{11}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{590±1610}{2000}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 1610 no 590.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-1020}{2000} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 20.

$$x=-\frac{51}{100}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Pieskaitiet 561 abās vienādojuma pusēs.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

Atņemot -561 no sevis, paliek 0.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

Atņemiet -561 no 0.

$$1000x^{2}-590x=561$$

Daliet abas puses ar 1000.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

Dalīšana ar 1000 atsauc reizināšanu ar 1000.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-590}{1000} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 10.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{59}{100} ar 2, lai iegūtu -\frac{59}{200}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{59}{200} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{59}{200}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

Pieskaitiet \frac{561}{1000} pie \frac{3481}{40000}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

Pieskaitiet \frac{59}{200} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$