Atrisiniet 1000x^2+6125x+125=0

$$1000 { x }^{ 2 } +6125x+125=0$$

Atrast x

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}\approx -0,020476619$$

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}\approx -6,104523381$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1000, b ar 6125 un c ar 125.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{6125^{2}-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

Kāpiniet 6125 kvadrātā.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

Reiziniet -4 reiz 1000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4000\times 125}}{2\times 1000}$$

Reiziniet -4000 reiz 125.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-500000}}{2\times 1000}$$

Pieskaitiet 37515625 pie -500000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37015625}}{2\times 1000}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 37015625.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2\times 1000}$$

Reiziniet 2 reiz 1000.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -6125 pie 125\sqrt{2369}.

$$x=\frac{125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

Daliet -6125+125\sqrt{2369} ar 2000.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 125\sqrt{2369} no -6125.

$$x=\frac{-125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

Daliet -6125-125\sqrt{2369} ar 2000.

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

Atņemiet 125 no vienādojuma abām pusēm.

$$1000x^{2}+6125x+125-125=-125$$

Atņemot 125 no sevis, paliek 0.

$$1000x^{2}+6125x=-125$$

Daliet abas puses ar 1000.

$$\frac{1000x^{2}+6125x}{1000}=-\frac{125}{1000}$$

Dalīšana ar 1000 atsauc reizināšanu ar 1000.

$$x^{2}+\frac{6125}{1000}x=-\frac{125}{1000}$$

Vienādot daļskaitli \frac{6125}{1000} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 125.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{125}{1000}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-125}{1000} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 125.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{49}{8} ar 2, lai iegūtu \frac{49}{16}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{49}{16} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{49}{16}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{2401}{256}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{8} pie \frac{2401}{256}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=\frac{2369}{256}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}=\frac{2369}{256}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2369}{256}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{49}{16}=\frac{\sqrt{2369}}{16} x+\frac{49}{16}=-\frac{\sqrt{2369}}{16}$$

Atņemiet \frac{49}{16} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$