Atrisiniet 10y^2-31y+15

$$10 y ^ { 2 } - 31 y + 15$$

Sadalīt reizinātājos

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Atrisinājuma darbības

Sadaliet izteiksmi reizinātājos, izmantojot grupēšanu. Vispirms izteiksme ir jāpārraksta kā 10y^{2}+ay+by+15. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-31 ab=10\times 15=150$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 150.

$$-1,-150 -2,-75 -3,-50 -5,-30 -6,-25 -10,-15$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-150=-151 -2-75=-77 -3-50=-53 -5-30=-35 -6-25=-31 -10-15=-25$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -31.

$$a=-25 b=-6$$

Pārrakstiet 10y^{2}-31y+15 kā \left(10y^{2}-25y\right)+\left(-6y+15\right).

$$\left(10y^{2}-25y\right)+\left(-6y+15\right)$$

Sadaliet 5y pirmo un -3 otrajā grupā.

$$5y\left(2y-5\right)-3\left(2y-5\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 2y-5 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$10y^{2}-31y+15=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Kāpiniet -31 kvadrātā.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Reiziniet -4 reiz 10.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-40\times 15}}{2\times 10}$$

Reiziniet -40 reiz 15.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-600}}{2\times 10}$$

Pieskaitiet 961 pie -600.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{361}}{2\times 10}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 361.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±19}{2\times 10}$$

Skaitļa -31 pretstats ir 31.

$$y=\frac{31±19}{2\times 10}$$

Reiziniet 2 reiz 10.

$$y=\frac{31±19}{20}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{31±19}{20}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 31 pie 19.

$$y=\frac{50}{20}$$

Vienādot daļskaitli \frac{50}{20} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 10.

$$y=\frac{5}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{31±19}{20}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 19 no 31.

$$y=\frac{12}{20}$$

Vienādot daļskaitli \frac{12}{20} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$y=\frac{3}{5}$$

Sadaliet sākotnējo izteiksmi, izmantojot ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Aizvietojiet \frac{5}{2} ar x_{1} un \frac{3}{5} ar x_{2}.

$$10y^{2}-31y+15=10\left(y-\frac{5}{2}\right)\left(y-\frac{3}{5}\right)$$

Atņemiet \frac{5}{2} no y, atrodot kopsaucēju un atņemot skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{2y-5}{2}\left(y-\frac{3}{5}\right)$$

Atņemiet \frac{3}{5} no y, atrodot kopsaucēju un atņemot skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{2y-5}{2}\times \frac{5y-3}{5}$$

Reiziniet \frac{2y-5}{2} ar \frac{5y-3}{5}, reizinot skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajam loceklim.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)}{2\times 5}$$

Reiziniet 2 reiz 5.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)}{10}$$

Noīsiniet lielāko kopējo reizinātāju 10 šeit: 10 un 10.

$$10y^{2}-31y+15=\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Izrēķināt

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$