Atrisiniet 10y^2-16y+5=0

$$10 y ^ { 2 } - 16 y + 5 = 0$$

Atrast y

$$y=\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5}\approx 1,174165739$$

$$y=-\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5}\approx 0,425834261$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$10y^{2}-16y+5=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 10, b ar -16 un c ar 5.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 10\times 5}}{2\times 10}$$

Kāpiniet -16 kvadrātā.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 10\times 5}}{2\times 10}$$

Reiziniet -4 reiz 10.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-40\times 5}}{2\times 10}$$

Reiziniet -40 reiz 5.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-200}}{2\times 10}$$

Pieskaitiet 256 pie -200.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{56}}{2\times 10}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 56.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±2\sqrt{14}}{2\times 10}$$

Skaitļa -16 pretstats ir 16.

$$y=\frac{16±2\sqrt{14}}{2\times 10}$$

Reiziniet 2 reiz 10.

$$y=\frac{16±2\sqrt{14}}{20}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{16±2\sqrt{14}}{20}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 16 pie 2\sqrt{14}.

$$y=\frac{2\sqrt{14}+16}{20}$$

Daliet 16+2\sqrt{14} ar 20.

$$y=\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{16±2\sqrt{14}}{20}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{14} no 16.

$$y=\frac{16-2\sqrt{14}}{20}$$

Daliet 16-2\sqrt{14} ar 20.

$$y=-\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$y=\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5} y=-\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$10y^{2}-16y+5=0$$

Atņemiet 5 no vienādojuma abām pusēm.

$$10y^{2}-16y+5-5=-5$$

Atņemot 5 no sevis, paliek 0.

$$10y^{2}-16y=-5$$

Daliet abas puses ar 10.

$$\frac{10y^{2}-16y}{10}=-\frac{5}{10}$$

Dalīšana ar 10 atsauc reizināšanu ar 10.

$$y^{2}+\left(-\frac{16}{10}\right)y=-\frac{5}{10}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-16}{10} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y=-\frac{5}{10}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-5}{10} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 5.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y=-\frac{1}{2}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{8}{5} ar 2, lai iegūtu -\frac{4}{5}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{4}{5} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{4}{5}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y+\frac{16}{25}=-\frac{1}{2}+\frac{16}{25}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{2} pie \frac{16}{25}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y+\frac{16}{25}=\frac{7}{50}$$

Sadaliet reizinātājos y^{2}-\frac{8}{5}y+\frac{16}{25}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{7}{50}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(y-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{50}}$$

Vienkāršojiet.

$$y-\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{14}}{10} y-\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{14}}{10}$$

Pieskaitiet \frac{4}{5} abās vienādojuma pusēs.

$$y=\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5} y=-\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5}$$