Atrisiniet 10x-x^2=16

$$10 x - x ^ { 2 } = 16$$

Atrast x

$$x=2$$

$$x=8$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 16 no abām pusēm.

$$10x-x^{2}-16=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$-x^{2}+10x-16=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -x^{2}+ax+bx-16. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=10 ab=-\left(-16\right)=16$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 10.

$$a=8 b=2$$

Pārrakstiet -x^{2}+10x-16 kā \left(-x^{2}+8x\right)+\left(2x-16\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(2x-16\right)$$

Sadaliet -x pirmo un 2 otrajā grupā.

$$-x\left(x-8\right)+2\left(x-8\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-8 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-8\right)\left(-x+2\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-8=0 un -x+2=0.

$$x=8 x=2$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-x^{2}+10x=16$$

Atņemiet 16 no vienādojuma abām pusēm.

$$-x^{2}+10x-16=16-16$$

Atņemot 16 no sevis, paliek 0.

$$-x^{2}+10x-16=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 10 un c ar -16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 10 kvadrātā.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz -16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 100 pie -64.

$$x=\frac{-10±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 36.

$$x=\frac{-10±6}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=\frac{-10±6}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-10±6}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -10 pie 6.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Daliet -4 ar -2.

$$x=2$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-10±6}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 6 no -10.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

Daliet -16 ar -2.

$$x=8$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=2 x=8$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+10x=16$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-x^{2}+10x}{-1}=\frac{16}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$x^{2}+\frac{10}{-1}x=\frac{16}{-1}$$

Daliet 10 ar -1.

$$x^{2}-10x=\frac{16}{-1}$$

Daliet 16 ar -1.

$$x^{2}-10x=-16$$

Daliet locekļa x koeficientu -10 ar 2, lai iegūtu -5. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -5 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-16+\left(-5\right)^{2}$$

Kāpiniet -5 kvadrātā.

$$x^{2}-10x+25=-16+25$$

Pieskaitiet -16 pie 25.

$$x^{2}-10x+25=9$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-10x+25. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=9$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Vienkāršojiet.

$$x-5=3 x-5=-3$$

Pieskaitiet 5 abās vienādojuma pusēs.

$$x=8 x=2$$