Atrisiniet 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Atrast k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 10k^{2}+ak+bk-1. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -10.

$$-1,10 -2,5$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 9.

$$a=-1 b=10$$

Pārrakstiet 10k^{2}+9k-1 kā \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Iznesiet reizinātāju k pirms iekavām izteiksmē 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 10k-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 10k-1=0 un k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 10, b ar 9 un c ar -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Kāpiniet 9 kvadrātā.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Reiziniet -4 reiz 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Reiziniet -40 reiz -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Pieskaitiet 81 pie 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Reiziniet 2 reiz 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu k=\frac{-9±11}{20}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -9 pie 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{20} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu k=\frac{-9±11}{20}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 11 no -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Daliet -20 ar 20.

$$k=-1$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Pieskaitiet 1 abās vienādojuma pusēs.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Atņemot -1 no sevis, paliek 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Atņemiet -1 no 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Daliet abas puses ar 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Dalīšana ar 10 atsauc reizināšanu ar 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{9}{10} ar 2, lai iegūtu \frac{9}{20}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{9}{20} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{9}{20}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Pieskaitiet \frac{1}{10} pie \frac{81}{400}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Sadaliet reizinātājos k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Vienkāršojiet.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Atņemiet \frac{9}{20} no vienādojuma abām pusēm.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$