Atrisiniet 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Atrast x

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 3x^{2} no abām pusēm.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Savelciet 10x^{2} un -3x^{2}, lai iegūtu 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Pievienot 10x abās pusēs.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Savelciet 10x un 10x, lai iegūtu 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Atņemiet 11 no abām pusēm.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Atņemiet 11 no 8, lai iegūtu -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 7x^{2}+ax+bx-3. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretējas pazīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvajam skaitlim ir lielāka absolūtā vērtība, nekā tas ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu -21.

$$-1,21 -3,7$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 20.

$$a=-1 b=21$$

Pārrakstiet 7x^{2}+20x-3 kā \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right).

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju x pirmajā grupā, bet 3 otrajā grupā.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli 7x-1, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 7x-1=0 un x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Atņemiet 3x^{2} no abām pusēm.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Savelciet 10x^{2} un -3x^{2}, lai iegūtu 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Pievienot 10x abās pusēs.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Savelciet 10x un 10x, lai iegūtu 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Atņemiet 11 no abām pusēm.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Atņemiet 11 no 8, lai iegūtu -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 7, b ar 20 un c ar -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Kāpiniet 20 kvadrātā.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Reiziniet -4 reiz 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Reiziniet -28 reiz -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Pieskaitiet 400 pie 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 484.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Reiziniet 2 reiz 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-20±22}{14}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -20 pie 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{14} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-20±22}{14}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 22 no -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Daliet -42 ar 14.

$$x=-3$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Atņemiet 3x^{2} no abām pusēm.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Savelciet 10x^{2} un -3x^{2}, lai iegūtu 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Pievienot 10x abās pusēs.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Savelciet 10x un 10x, lai iegūtu 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Atņemiet 8 no abām pusēm.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Atņemiet 8 no 11, lai iegūtu 3.

$$7x^{2}+20x=3$$

Daliet abas puses ar 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

Dalīšana ar 7 atsauc reizināšanu ar 7.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{20}{7} ar 2, lai iegūtu \frac{10}{7}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{10}{7} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{10}{7}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Pieskaitiet \frac{3}{7} pie \frac{100}{49}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Atņemiet \frac{10}{7} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$