Atrisiniet 15x^2-97x+1=0

$$15 x ^ { 2 } - 97 x + 1 = 0$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{9349} + 97}{30} \approx 6,4563409$$

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}\approx 0,010325766$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 15, b ar -97 un c ar 1.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{\left(-97\right)^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Kāpiniet -97 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-4\times 15}}{2\times 15}$$

Reiziniet -4 reiz 15.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-60}}{2\times 15}$$

Pieskaitiet 9409 pie -60.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

Skaitļa -97 pretstats ir 97.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

Reiziniet 2 reiz 15.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 97 pie \sqrt{9349}.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet \sqrt{9349} no 97.

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Atņemiet 1 no vienādojuma abām pusēm.

$$15x^{2}-97x+1-1=-1$$

Atņemot 1 no sevis, paliek 0.

$$15x^{2}-97x=-1$$

Daliet abas puses ar 15.

$$\frac{15x^{2}-97x}{15}=-\frac{1}{15}$$

Dalīšana ar 15 atsauc reizināšanu ar 15.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x=-\frac{1}{15}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{97}{15} ar 2, lai iegūtu -\frac{97}{30}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{97}{30} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{97}{30}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=-\frac{1}{15}+\frac{9409}{900}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{15} pie \frac{9409}{900}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=\frac{9349}{900}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}=\frac{9349}{900}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9349}{900}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{97}{30}=\frac{\sqrt{9349}}{30} x-\frac{97}{30}=-\frac{\sqrt{9349}}{30}$$

Pieskaitiet \frac{97}{30} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$