Atrisiniet 15x^2-525x-4500=0

$$15 x ^ { 2 } - 525 x - 4500 = 0$$

Atrast x

$$x = \frac{5 \sqrt{97} + 35}{2} \approx 42,122144504$$

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}\approx -7,122144504$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 15, b ar -525 un c ar -4500.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{\left(-525\right)^{2}-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Kāpiniet -525 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Reiziniet -4 reiz 15.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-60\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Reiziniet -60 reiz -4500.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625+270000}}{2\times 15}$$

Pieskaitiet 275625 pie 270000.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{545625}}{2\times 15}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 545625.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Skaitļa -525 pretstats ir 525.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Reiziniet 2 reiz 15.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 525 pie 75\sqrt{97}.

$$x=\frac{75\sqrt{97}+525}{30}$$

Daliet 525+75\sqrt{97} ar 30.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 75\sqrt{97} no 525.

$$x=\frac{525-75\sqrt{97}}{30}$$

Daliet 525-75\sqrt{97} ar 30.

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Pieskaitiet 4500 abās vienādojuma pusēs.

$$15x^{2}-525x-4500-\left(-4500\right)=-\left(-4500\right)$$

Atņemot -4500 no sevis, paliek 0.

$$15x^{2}-525x=-\left(-4500\right)$$

Atņemiet -4500 no 0.

$$15x^{2}-525x=4500$$

Daliet abas puses ar 15.

$$\frac{15x^{2}-525x}{15}=\frac{4500}{15}$$

Dalīšana ar 15 atsauc reizināšanu ar 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{525}{15}\right)x=\frac{4500}{15}$$

Daliet -525 ar 15.

$$x^{2}-35x=\frac{4500}{15}$$

Daliet 4500 ar 15.

$$x^{2}-35x=300$$

Daliet locekļa x koeficientu -35 ar 2, lai iegūtu -\frac{35}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{35}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-35x+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}=300+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{35}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=300+\frac{1225}{4}$$

Pieskaitiet 300 pie \frac{1225}{4}.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=\frac{2425}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-35x+\frac{1225}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}=\frac{2425}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2425}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{35}{2}=\frac{5\sqrt{97}}{2} x-\frac{35}{2}=-\frac{5\sqrt{97}}{2}$$

Pieskaitiet \frac{35}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$