Atrisiniet -x^2+8x+47=0

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

Atrast x

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11,937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3,937253933$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 8 un c ar 47.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 8 kvadrātā.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz 47.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 64 pie 188.

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 252.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -8 pie 6\sqrt{7}.

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Daliet -8+6\sqrt{7} ar -2.

$$x=4-3\sqrt{7}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 6\sqrt{7} no -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Daliet -8-6\sqrt{7} ar -2.

$$x=3\sqrt{7}+4$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Atņemiet 47 no vienādojuma abām pusēm.

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

Atņemot 47 no sevis, paliek 0.

$$-x^{2}+8x=-47$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

Daliet 8 ar -1.

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

Daliet -47 ar -1.

$$x^{2}-8x=47$$

Daliet locekļa x koeficientu -8 ar 2, lai iegūtu -4. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -4 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

Kāpiniet -4 kvadrātā.

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

Pieskaitiet 47 pie 16.

$$x^{2}-8x+16=63$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-8x+16. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

Vienkāršojiet.

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

Pieskaitiet 4 abās vienādojuma pusēs.

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$