Atrisiniet -9x^2+18x+68=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x + 68 = 0$$

Atrast x

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx 3,924988129$$

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx -1,924988129$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -9, b ar 18 un c ar 68.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Kāpiniet 18 kvadrātā.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Reiziniet 36 reiz 68.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+2448}}{2\left(-9\right)}$$

Pieskaitiet 324 pie 2448.

$$x=\frac{-18±\sqrt{2772}}{2\left(-9\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 2772.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{2\left(-9\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -9.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -18 pie 6\sqrt{77}.

$$x=\frac{6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Daliet -18+6\sqrt{77} ar -18.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 6\sqrt{77} no -18.

$$x=\frac{-6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Daliet -18-6\sqrt{77} ar -18.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Atņemiet 68 no vienādojuma abām pusēm.

$$-9x^{2}+18x+68-68=-68$$

Atņemot 68 no sevis, paliek 0.

$$-9x^{2}+18x=-68$$

Daliet abas puses ar -9.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=-\frac{68}{-9}$$

Dalīšana ar -9 atsauc reizināšanu ar -9.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=-\frac{68}{-9}$$

Daliet 18 ar -9.

$$x^{2}-2x=-\frac{68}{-9}$$

Daliet -68 ar -9.

$$x^{2}-2x=\frac{68}{9}$$

Daliet locekļa x koeficientu -2 ar 2, lai iegūtu -1. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -1 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-2x+1=\frac{68}{9}+1$$

Pieskaitiet \frac{68}{9} pie 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{77}{9}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-2x+1. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{77}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-1=\frac{\sqrt{77}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{77}}{3}$$

Pieskaitiet 1 abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$