Atrisiniet -9x^2+12x-3=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 12 x - 3 = 0$$

Atrast x

$$x=1$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Daliet abas puses ar 3.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -3x^{2}+ax+bx-1. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Sistēmas atrisinājums ir tikai šāds pāris.

$$a=3 b=1$$

Pārrakstiet -3x^{2}+4x-1 kā \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right)$$

Sadaliet 3x pirmo un -1 otrajā grupā.

$$3x\left(-x+1\right)-\left(-x+1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju -x+1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(-x+1\right)\left(3x-1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet -x+1=0 un 3x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -9, b ar 12 un c ar -3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kāpiniet 12 kvadrātā.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+36\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Reiziniet 36 reiz -3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2\left(-9\right)}$$

Pieskaitiet 144 pie -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2\left(-9\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 36.

$$x=\frac{-12±6}{2\left(-9\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -9.

$$x=\frac{-12±6}{-18}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-12±6}{-18}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -12 pie 6.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-6}{-18} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-12±6}{-18}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 6 no -12.

$$x=-\frac{18}{-18}$$

Daliet -18 ar -18.

$$x=1$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Pieskaitiet 3 abās vienādojuma pusēs.

$$-9x^{2}+12x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Atņemot -3 no sevis, paliek 0.

$$-9x^{2}+12x=-\left(-3\right)$$

Atņemiet -3 no 0.

$$-9x^{2}+12x=3$$

Daliet abas puses ar -9.

$$\frac{-9x^{2}+12x}{-9}=\frac{3}{-9}$$

Dalīšana ar -9 atsauc reizināšanu ar -9.

$$x^{2}+\frac{12}{-9}x=\frac{3}{-9}$$

Vienādot daļskaitli \frac{12}{-9} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{3}{-9}$$

Vienādot daļskaitli \frac{3}{-9} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{4}{3} ar 2, lai iegūtu -\frac{2}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{2}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{2}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{3} pie \frac{4}{9}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Pieskaitiet \frac{2}{3} abās vienādojuma pusēs.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$