Atrisiniet -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Atrast x

$$x=4$$

$$x=13$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Daliet abas puses ar 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -x^{2}+ax+bx-52. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 17.

$$a=13 b=4$$

Pārrakstiet -x^{2}+17x-52 kā \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Sadaliet -x pirmo un 4 otrajā grupā.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-13 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-13=0 un -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -3, b ar 51 un c ar -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kāpiniet 51 kvadrātā.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Reiziniet 12 reiz -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Pieskaitiet 2601 pie -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-51±27}{-6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -51 pie 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Daliet -24 ar -6.

$$x=4$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-51±27}{-6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 27 no -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Daliet -78 ar -6.

$$x=13$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=4 x=13$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Pieskaitiet 156 abās vienādojuma pusēs.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Atņemot -156 no sevis, paliek 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Atņemiet -156 no 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Daliet abas puses ar -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Dalīšana ar -3 atsauc reizināšanu ar -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Daliet 51 ar -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Daliet 156 ar -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Daliet locekļa x koeficientu -17 ar 2, lai iegūtu -\frac{17}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{17}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{17}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Pieskaitiet -52 pie \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Pieskaitiet \frac{17}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=13 x=4$$