Atrisiniet -3(2x-1)+(x+1)(x-1)-5(x+2)=1

$$- 3 ( 2 x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 5 ( x + 2 ) = 1$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 11}{2} \approx 11,764982043$$

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}\approx -0,764982043$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -3 ar 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Apsveriet \left(x+1\right)\left(x-1\right). Reizināšanu var pārvērst par kvadrātu starpību, izmantojot šo kārtulu: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Atņemiet 1 no 3, lai iegūtu 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -5 ar x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Savelciet -6x un -5x, lai iegūtu -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Atņemiet 10 no 2, lai iegūtu -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Atņemiet 1 no abām pusēm.

$$-11x-8+x^{2}-1=0$$

Atņemiet 1 no -8, lai iegūtu -9.

$$-11x-9+x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}-11x-9=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -11 un c ar -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kāpiniet -11 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-9\right)}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+36}}{2}$$

Pieskaitiet 121 pie 36.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{157}}{2}$$

Skaitļa -11 pretstats ir 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 11 pie \sqrt{157}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet \sqrt{157} no 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -3 ar 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Apsveriet \left(x+1\right)\left(x-1\right). Reizināšanu var pārvērst par kvadrātu starpību, izmantojot šo kārtulu: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Atņemiet 1 no 3, lai iegūtu 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -5 ar x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Savelciet -6x un -5x, lai iegūtu -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Atņemiet 10 no 2, lai iegūtu -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Pievienot 8 abās pusēs.

$$-11x+x^{2}=1+8$$

Saskaitiet 1 un 8, lai iegūtu 9.

$$-11x+x^{2}=9$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=9$$

Daliet locekļa x koeficientu -11 ar 2, lai iegūtu -\frac{11}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{11}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{11}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=9+\frac{121}{4}$$

Pieskaitiet 9 pie \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{157}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Pieskaitiet \frac{11}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$