Atrisiniet -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Atrast x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Nevienādību reiziniet ar -1, lai lielākās pakāpes koeficientu izteiksmē -2x^{2}+12x-14 padarītu par pozitīvu. Tā kā -1 ir <0, nevienādības virziens mainās.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 2, b ar -12 un c ar 14.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Veiciet aprēķinus.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Atrisiniet vienādojumu x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Lai reizinājums būtu negatīvs, vērtībām x-\left(\sqrt{2}+3\right) un x-\left(3-\sqrt{2}\right) ir jābūt ar pretējām zīmēm. Apsveriet gadījumu, kur vērtība x-\left(\sqrt{2}+3\right) ir pozitīva, bet vērtība x-\left(3-\sqrt{2}\right) ir negatīva.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Tas ir aplami jebkuram x.

$$x\in \emptyset$$

Apsveriet gadījumu, kur vērtība x-\left(3-\sqrt{2}\right) ir pozitīva, bet vērtība x-\left(\sqrt{2}+3\right) ir negatīva.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$