Atrisiniet (x+1)-(x-3)(x+3)=7

$$(x+1)-(x-3)(x+3)=7$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 1}{2} \approx 2,302775638$$

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\approx -1,302775638$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Apsveriet \left(x-3\right)\left(x+3\right). Reizināšanu var pārvērst par kvadrātu starpību, izmantojot šo kārtulu: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kāpiniet 3 kvadrātā.

$$x+1-\left(x^{2}-9\right)=7$$

Lai atrastu x^{2}-9 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$x+1-x^{2}+9=7$$

Saskaitiet 1 un 9, lai iegūtu 10.

$$x+10-x^{2}=7$$

Atņemiet 7 no abām pusēm.

$$x+10-x^{2}-7=0$$

Atņemiet 7 no 10, lai iegūtu 3.

$$x+3-x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-x^{2}+x+3=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 1 un c ar 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 1 pie 12.

$$x=\frac{-1±\sqrt{13}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{13}}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-1±\sqrt{13}}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -1 pie \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{-2}$$

Daliet -1+\sqrt{13} ar -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-1±\sqrt{13}}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet \sqrt{13} no -1.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{-2}$$

Daliet -1-\sqrt{13} ar -2.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{2} x=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Apsveriet \left(x-3\right)\left(x+3\right). Reizināšanu var pārvērst par kvadrātu starpību, izmantojot šo kārtulu: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kāpiniet 3 kvadrātā.

$$x+1-\left(x^{2}-9\right)=7$$

Lai atrastu x^{2}-9 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$x+1-x^{2}+9=7$$

Saskaitiet 1 un 9, lai iegūtu 10.

$$x+10-x^{2}=7$$

Atņemiet 10 no abām pusēm.

$$x-x^{2}=7-10$$

Atņemiet 10 no 7, lai iegūtu -3.

$$x-x^{2}=-3$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-3$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{3}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{3}{-1}$$

Daliet 1 ar -1.

$$x^{2}-x=-\frac{3}{-1}$$

Daliet -3 ar -1.

$$x^{2}-x=3$$

Daliet locekļa x koeficientu -1 ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=3+\frac{1}{4}$$

Pieskaitiet 3 pie \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-x+\frac{1}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$$