Atrisiniet (x-3)^2+(x+4)^2=16

$$( x - 3 ) ^ { 2 } + ( x + 4 ) ^ { 2 } = 16$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}\approx -0,5+2,061552813i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}\approx -0,5-2,061552813i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

Savelciet x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

Savelciet -6x un 8x, lai iegūtu 2x.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

Saskaitiet 9 un 16, lai iegūtu 25.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

Atņemiet 16 no abām pusēm.

$$2x^{2}+2x+25-16=0$$

Atņemiet 16 no 25, lai iegūtu 9.

$$2x^{2}+2x+9=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 2, b ar 2 un c ar 9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Kāpiniet 2 kvadrātā.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Reiziniet -4 reiz 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\times 9}}{2\times 2}$$

Reiziniet -8 reiz 9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 2}$$

Pieskaitiet 4 pie -72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -2 pie 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{4}$$

Daliet -2+2i\sqrt{17} ar 4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2i\sqrt{17} no -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{4}$$

Daliet -2-2i\sqrt{17} ar 4.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

Savelciet x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

Savelciet -6x un 8x, lai iegūtu 2x.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

Saskaitiet 9 un 16, lai iegūtu 25.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

Atņemiet 25 no abām pusēm.

$$2x^{2}+2x=16-25$$

Atņemiet 25 no 16, lai iegūtu -9.

$$2x^{2}+2x=-9$$

Daliet abas puses ar 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Dalīšana ar 2 atsauc reizināšanu ar 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Daliet 2 ar 2.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{2}$$

Daliet locekļa x koeficientu 1 ar 2, lai iegūtu \frac{1}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{1}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{1}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{2}+\frac{1}{4}$$

Pieskaitiet -\frac{9}{2} pie \frac{1}{4}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+x+\frac{1}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}i}{2}$$

Atņemiet \frac{1}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$