Atrisiniet (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Atrast x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Savelciet x^{2} un 4x^{2}, lai iegūtu 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Savelciet -2x un 8x, lai iegūtu 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Saskaitiet 1 un 4, lai iegūtu 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Atņemiet 16 no abām pusēm.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Atņemiet 16 no 5, lai iegūtu -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 5x^{2}+ax+bx-11. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -55.

$$-1,55 -5,11$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 6.

$$a=-5 b=11$$

Pārrakstiet 5x^{2}+6x-11 kā \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Sadaliet 5x pirmo un 11 otrajā grupā.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-1=0 un 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Savelciet x^{2} un 4x^{2}, lai iegūtu 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Savelciet -2x un 8x, lai iegūtu 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Saskaitiet 1 un 4, lai iegūtu 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Atņemiet 16 no abām pusēm.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Atņemiet 16 no 5, lai iegūtu -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 5, b ar 6 un c ar -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Kāpiniet 6 kvadrātā.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Reiziniet -4 reiz 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Reiziniet -20 reiz -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Pieskaitiet 36 pie 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Reiziniet 2 reiz 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-6±16}{10}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -6 pie 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Daliet 10 ar 10.

$$x=1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-6±16}{10}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 16 no -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-22}{10} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Savelciet x^{2} un 4x^{2}, lai iegūtu 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Savelciet -2x un 8x, lai iegūtu 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Saskaitiet 1 un 4, lai iegūtu 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Atņemiet 5 no abām pusēm.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Atņemiet 5 no 16, lai iegūtu 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Daliet abas puses ar 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Dalīšana ar 5 atsauc reizināšanu ar 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{6}{5} ar 2, lai iegūtu \frac{3}{5}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{3}{5} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{3}{5}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Pieskaitiet \frac{11}{5} pie \frac{9}{25}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Atņemiet \frac{3}{5} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$