Atrisiniet (x)=2(x-1)^2+1

$$( x ) = 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 1$$

Atrast x

$$x=1$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-1\right)^{2}.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2 ar x^{2}-2x+1.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

Saskaitiet 2 un 1, lai iegūtu 3.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

Atņemiet 2x^{2} no abām pusēm.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

Pievienot 4x abās pusēs.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

Savelciet x un 4x, lai iegūtu 5x.

$$5x-2x^{2}=3$$

Atņemiet 3 no abām pusēm.

$$5x-2x^{2}-3=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$-2x^{2}+5x-3=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -2x^{2}+ax+bx-3. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=5 ab=-2\left(-3\right)=6$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 6.

$$1,6 2,3$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+6=7 2+3=5$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 5.

$$a=3 b=2$$

Pārrakstiet -2x^{2}+5x-3 kā \left(-2x^{2}+3x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(-2x^{2}+3x\right)+\left(2x-3\right)$$

Iznesiet reizinātāju -x pirms iekavām izteiksmē -2x^{2}+3x.

$$-x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 2x-3 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2x-3\right)\left(-x+1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 2x-3=0 un -x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-1\right)^{2}.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2 ar x^{2}-2x+1.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

Saskaitiet 2 un 1, lai iegūtu 3.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

Atņemiet 2x^{2} no abām pusēm.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

Pievienot 4x abās pusēs.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

Savelciet x un 4x, lai iegūtu 5x.

$$5x-2x^{2}=3$$

Atņemiet 3 no abām pusēm.

$$5x-2x^{2}-3=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-2x^{2}+5x-3=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -2, b ar 5 un c ar -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kāpiniet 5 kvadrātā.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Reiziniet 8 reiz -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-2\right)}$$

Pieskaitiet 25 pie -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-2\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-2\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -2.

$$x=\frac{-5±1}{-4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-5±1}{-4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -5 pie 1.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Daliet -4 ar -4.

$$x=1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-5±1}{-4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 1 no -5.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-6}{-4} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=1 x=\frac{3}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-1\right)^{2}.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2 ar x^{2}-2x+1.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

Saskaitiet 2 un 1, lai iegūtu 3.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

Atņemiet 2x^{2} no abām pusēm.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

Pievienot 4x abās pusēs.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

Savelciet x un 4x, lai iegūtu 5x.

$$5x-2x^{2}=3$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+5x=3$$

Daliet abas puses ar -2.

$$\frac{-2x^{2}+5x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

Dalīšana ar -2 atsauc reizināšanu ar -2.

$$x^{2}+\frac{5}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

Daliet 5 ar -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Daliet 3 ar -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{5}{2} ar 2, lai iegūtu -\frac{5}{4}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{5}{4} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{5}{4}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Pieskaitiet -\frac{3}{2} pie \frac{25}{16}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1}{16}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}$$

Pieskaitiet \frac{5}{4} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$