Atrisiniet (x+3)^2-(2x-1)^2=16

$$( x + 3 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

Atrast x

$$x=2$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

Lai atrastu 4x^{2}-4x+1 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Savelciet x^{2} un -4x^{2}, lai iegūtu -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Savelciet 6x un 4x, lai iegūtu 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Atņemiet 1 no 9, lai iegūtu 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Atņemiet 16 no abām pusēm.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Atņemiet 16 no 8, lai iegūtu -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -3x^{2}+ax+bx-8. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=10 ab=-3\left(-8\right)=24$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 10.

$$a=6 b=4$$

Pārrakstiet -3x^{2}+10x-8 kā \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right)$$

Sadaliet 3x pirmo un -4 otrajā grupā.

$$3x\left(-x+2\right)-4\left(-x+2\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju -x+2 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(-x+2\right)\left(3x-4\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet -x+2=0 un 3x-4=0.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

Lai atrastu 4x^{2}-4x+1 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Savelciet x^{2} un -4x^{2}, lai iegūtu -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Savelciet 6x un 4x, lai iegūtu 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Atņemiet 1 no 9, lai iegūtu 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Atņemiet 16 no abām pusēm.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Atņemiet 16 no 8, lai iegūtu -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -3, b ar 10 un c ar -8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kāpiniet 10 kvadrātā.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Reiziniet 12 reiz -8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\left(-3\right)}$$

Pieskaitiet 100 pie -96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 4.

$$x=\frac{-10±2}{2\left(-3\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -3.

$$x=\frac{-10±2}{-6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-10±2}{-6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -10 pie 2.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-8}{-6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-10±2}{-6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2 no -10.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Daliet -12 ar -6.

$$x=2$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{4}{3} x=2$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

Lai atrastu 4x^{2}-4x+1 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Savelciet x^{2} un -4x^{2}, lai iegūtu -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Savelciet 6x un 4x, lai iegūtu 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Atņemiet 1 no 9, lai iegūtu 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Atņemiet 8 no abām pusēm.

$$-3x^{2}+10x=16-8$$

Atņemiet 8 no 16, lai iegūtu 8.

$$-3x^{2}+10x=8$$

Daliet abas puses ar -3.

$$\frac{-3x^{2}+10x}{-3}=\frac{8}{-3}$$

Dalīšana ar -3 atsauc reizināšanu ar -3.

$$x^{2}+\frac{10}{-3}x=\frac{8}{-3}$$

Daliet 10 ar -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{-3}$$

Daliet 8 ar -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{10}{3} ar 2, lai iegūtu -\frac{5}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{5}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{5}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Pieskaitiet -\frac{8}{3} pie \frac{25}{9}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{1}{9}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$$

Pieskaitiet \frac{5}{3} abās vienādojuma pusēs.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$