Atrisiniet (x+1)^2-5x(x+1)=0

$$( x + 1 ) ^ { 2 } - 5 x ( x + 1 ) = 0$$

Atrast x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=-1$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -5x ar x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Savelciet x^{2} un -5x^{2}, lai iegūtu -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Savelciet 2x un -5x, lai iegūtu -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -4x^{2}+ax+bx+1. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -4.

$$1,-4 2,-2$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -3.

$$a=1 b=-4$$

Pārrakstiet -4x^{2}-3x+1 kā \left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Sadaliet -x pirmo un -1 otrajā grupā.

$$-x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 4x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(4x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 4x-1=0 un -x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -5x ar x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Savelciet x^{2} un -5x^{2}, lai iegūtu -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Savelciet 2x un -5x, lai iegūtu -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -4, b ar -3 un c ar 1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kāpiniet -3 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

Pieskaitiet 9 pie 16.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 25.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

Skaitļa -3 pretstats ir 3.

$$x=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -4.

$$x=\frac{3±5}{-8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{3±5}{-8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 3 pie 5.

$$x=\frac{8}{-8}$$

Daliet 8 ar -8.

$$x=-1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{3±5}{-8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 5 no 3.

$$x=-\frac{2}{-8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-2}{-8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-1 x=\frac{1}{4}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -5x ar x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Savelciet x^{2} un -5x^{2}, lai iegūtu -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Savelciet 2x un -5x, lai iegūtu -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Atņemiet 1 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$-4x^{2}-3x=-1$$

Daliet abas puses ar -4.

$$\frac{-4x^{2}-3x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Dalīšana ar -4 atsauc reizināšanu ar -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)x=-\frac{1}{-4}$$

Daliet -3 ar -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1}{-4}$$

Daliet -1 ar -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{3}{4} ar 2, lai iegūtu \frac{3}{8}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{3}{8} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{3}{8}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Pieskaitiet \frac{1}{4} pie \frac{9}{64}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Atņemiet \frac{3}{8} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$