Atrisiniet (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Atrast v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Atņemiet 2v^{2} no abām pusēm.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Savelciet v^{2} un -2v^{2}, lai iegūtu -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Atņemiet 2v no abām pusēm.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Savelciet 8v un -2v, lai iegūtu 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Atņemiet 9 no abām pusēm.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Atņemiet 9 no 16, lai iegūtu 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -v^{2}+av+bv+7. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Sistēmas atrisinājums ir tikai šāds pāris.

$$a=7 b=-1$$

Pārrakstiet -v^{2}+6v+7 kā \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Sadaliet -v pirmo un -1 otrajā grupā.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju v-7 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet v-7=0 un -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Atņemiet 2v^{2} no abām pusēm.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Savelciet v^{2} un -2v^{2}, lai iegūtu -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Atņemiet 2v no abām pusēm.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Savelciet 8v un -2v, lai iegūtu 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Atņemiet 9 no abām pusēm.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Atņemiet 9 no 16, lai iegūtu 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 6 un c ar 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 6 kvadrātā.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 36 pie 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu v=\frac{-6±8}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -6 pie 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Daliet 2 ar -2.

$$v=-1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu v=\frac{-6±8}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 8 no -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Daliet -14 ar -2.

$$v=7$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$v=-1 v=7$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Atņemiet 2v^{2} no abām pusēm.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Savelciet v^{2} un -2v^{2}, lai iegūtu -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Atņemiet 2v no abām pusēm.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Savelciet 8v un -2v, lai iegūtu 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Atņemiet 16 no abām pusēm.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Atņemiet 16 no 9, lai iegūtu -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Daliet 6 ar -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Daliet -7 ar -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Daliet locekļa x koeficientu -6 ar 2, lai iegūtu -3. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -3 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Kāpiniet -3 kvadrātā.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Pieskaitiet 7 pie 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Sadaliet reizinātājos v^{2}-6v+9. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Vienkāršojiet.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Pieskaitiet 3 abās vienādojuma pusēs.

$$v=7 v=-1$$