Atrisiniet (k+1/4)^2-1/16-1/5=0

$$( k + \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 16 } - \frac { 1 } { 5 } = 0$$

Atrast k

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx 0,262347538$$

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx -0,762347538$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

Atņemiet \frac{1}{16} no \frac{1}{16}, lai iegūtu 0.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar \frac{1}{2} un c ar -\frac{1}{5}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{1}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz -\frac{1}{5}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{5}}}{2}$$

Pieskaitiet \frac{1}{4} pie \frac{4}{5}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{21}{20}}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no \frac{21}{20}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -\frac{1}{2} pie \frac{\sqrt{105}}{10}.

$$k=\frac{\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

Daliet -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{105}}{10} ar 2.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet \frac{\sqrt{105}}{10} no -\frac{1}{2}.

$$k=\frac{-\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

Daliet -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{105}}{10} ar 2.

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

Atņemiet \frac{1}{16} no \frac{1}{16}, lai iegūtu 0.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

Pievienot \frac{1}{5} abās pusēs. Jebkuram skaitlim pieskaitot nulli, iegūst to pašu skaitli.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k=\frac{1}{5}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{1}{2} ar 2, lai iegūtu \frac{1}{4}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{1}{4} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{1}{4}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{1}{5}+\frac{1}{16}$$

Pieskaitiet \frac{1}{5} pie \frac{1}{16}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{21}{80}$$

Sadaliet reizinātājos k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{80}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{80}}$$

Vienkāršojiet.

$$k+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{105}}{20} k+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{20}$$

Atņemiet \frac{1}{4} no vienādojuma abām pusēm.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$