Atrisiniet (9x^2-16)-(3x-4)(2-5x)<0

$$( 9 x ^ { 2 } - 16 ) - ( 3 x - 4 ) ( 2 - 5 x ) < 0$$

Atrast x

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 3x-4 ar 2-5x un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$9x^{2}-16-\left(26x-15x^{2}-8\right)<0$$

Lai atrastu 26x-15x^{2}-8 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$9x^{2}-16-26x+15x^{2}+8<0$$

Savelciet 9x^{2} un 15x^{2}, lai iegūtu 24x^{2}.

$$24x^{2}-16-26x+8<0$$

Saskaitiet -16 un 8, lai iegūtu -8.

$$24x^{2}-8-26x<0$$

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$24x^{2}-8-26x=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 24, b ar -26 un c ar -8.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 24\left(-8\right)}}{2\times 24}$$

Veiciet aprēķinus.

$$x=\frac{26±38}{48}$$

Atrisiniet vienādojumu x=\frac{26±38}{48}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{1}{4}$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$24\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)<0$$

Lai reizinājums būtu negatīvs, vērtībām x-\frac{4}{3} un x+\frac{1}{4} ir jābūt ar pretējām zīmēm. Apsveriet gadījumu, kur vērtība x-\frac{4}{3} ir pozitīva, bet vērtība x+\frac{1}{4} ir negatīva.

$$x-\frac{4}{3}>0 x+\frac{1}{4}<0$$

Tas ir aplami jebkuram x.

$$x\in \emptyset$$

Apsveriet gadījumu, kur vērtība x+\frac{1}{4} ir pozitīva, bet vērtība x-\frac{4}{3} ir negatīva.

$$x+\frac{1}{4}>0 x-\frac{4}{3}<0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right)$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right)$$