Atrisiniet (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Atrast x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Apsveriet \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Reizināšanu var pārvērst par kvadrātu starpību, izmantojot šo kārtulu: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Paplašiniet \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Aprēķiniet 2 pakāpē 2 un iegūstiet 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Lai atrastu 4x^{2}-1 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Savelciet 25x^{2} un -4x^{2}, lai iegūtu 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Saskaitiet 4 un 1, lai iegūtu 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Atņemiet 47 no abām pusēm.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Atņemiet 47 no 5, lai iegūtu -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Atņemiet x no abām pusēm.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Savelciet -20x un -x, lai iegūtu -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Daliet abas puses ar 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx-2. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Sistēmas atrisinājums ir tikai šāds pāris.

$$a=-2 b=1$$

Pārrakstiet x^{2}-x-2 kā \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Iznesiet reizinātāju x pirms iekavām izteiksmē x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-2 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-2=0 un x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Apsveriet \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Reizināšanu var pārvērst par kvadrātu starpību, izmantojot šo kārtulu: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Paplašiniet \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Aprēķiniet 2 pakāpē 2 un iegūstiet 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Lai atrastu 4x^{2}-1 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Savelciet 25x^{2} un -4x^{2}, lai iegūtu 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Saskaitiet 4 un 1, lai iegūtu 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Atņemiet 47 no abām pusēm.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Atņemiet 47 no 5, lai iegūtu -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Atņemiet x no abām pusēm.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Savelciet -20x un -x, lai iegūtu -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 21, b ar -21 un c ar -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Kāpiniet -21 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Reiziniet -4 reiz 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Reiziniet -84 reiz -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Pieskaitiet 441 pie 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Skaitļa -21 pretstats ir 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Reiziniet 2 reiz 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{21±63}{42}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 21 pie 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Daliet 84 ar 42.

$$x=2$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{21±63}{42}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 63 no 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Daliet -42 ar 42.

$$x=-1$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=2 x=-1$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Apsveriet \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Reizināšanu var pārvērst par kvadrātu starpību, izmantojot šo kārtulu: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Paplašiniet \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Aprēķiniet 2 pakāpē 2 un iegūstiet 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Lai atrastu 4x^{2}-1 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Savelciet 25x^{2} un -4x^{2}, lai iegūtu 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Saskaitiet 4 un 1, lai iegūtu 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Atņemiet x no abām pusēm.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Savelciet -20x un -x, lai iegūtu -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Atņemiet 5 no abām pusēm.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Atņemiet 5 no 47, lai iegūtu 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Daliet abas puses ar 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Dalīšana ar 21 atsauc reizināšanu ar 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Daliet -21 ar 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Daliet 42 ar 21.

$$x^{2}-x=2$$

Daliet locekļa x koeficientu -1 ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Pieskaitiet 2 pie \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-x+\frac{1}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=2 x=-1$$