Atrisiniet (5x+7)^2=16

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

Atrast x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Atņemiet 16 no abām pusēm.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Atņemiet 16 no 49, lai iegūtu 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 25x^{2}+ax+bx+33. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 825.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 70.

$$a=15 b=55$$

Pārrakstiet 25x^{2}+70x+33 kā \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

Sadaliet 5x pirmo un 11 otrajā grupā.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 5x+3 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 5x+3=0 un 5x+11=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Atņemiet 16 no abām pusēm.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Atņemiet 16 no 49, lai iegūtu 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 25, b ar 70 un c ar 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Kāpiniet 70 kvadrātā.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Reiziniet -4 reiz 25.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

Reiziniet -100 reiz 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

Pieskaitiet 4900 pie -3300.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1600.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

Reiziniet 2 reiz 25.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-70±40}{50}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -70 pie 40.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-30}{50} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-70±40}{50}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 40 no -70.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-110}{50} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 10.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Atņemiet 49 no abām pusēm.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

Atņemiet 49 no 16, lai iegūtu -33.

$$25x^{2}+70x=-33$$

Daliet abas puses ar 25.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

Dalīšana ar 25 atsauc reizināšanu ar 25.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

Vienādot daļskaitli \frac{70}{25} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{14}{5} ar 2, lai iegūtu \frac{7}{5}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{7}{5} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{7}{5}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

Pieskaitiet -\frac{33}{25} pie \frac{49}{25}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

Atņemiet \frac{7}{5} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$