Atrisiniet (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Atrast x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Reiziniet vienādojuma abas puses ar 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Skaitļa \sqrt{3} kvadrāts ir 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Reiziniet 16 un 3, lai iegūtu 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Noīsiniet lielāko kopējo reizinātāju 2 šeit: 8 un 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Lai kāpinātu izteiksmi \frac{x\sqrt{3}}{2}, kāpiniet gan skaitītāju, gan saucēju atbilstoši pakāpei, un pēc tam veiciet dalīšanu.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Lai saskaitītu vai atņemtu izteiksmes, izvērsiet tās, vienādojot saucējus. Reiziniet 48 reiz \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Tā kā \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} un \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} ir viens un tas pats saucējs, saskaitiet tos, saskaitot to skaitītājus.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4 ar \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Aprēķiniet 2 pakāpē 2 un iegūstiet 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Reiziniet 48 un 4, lai iegūtu 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Paplašiniet \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Skaitļa \sqrt{3} kvadrāts ir 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Aprēķiniet 2 pakāpē 2 un iegūstiet 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Izsakiet 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} kā vienu daļskaitli.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Saīsiniet 4 un 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Skaitļa \sqrt{3} kvadrāts ir 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Reiziniet 16 un 3, lai iegūtu 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Savelciet x^{2}\times 3 un x^{2}, lai iegūtu 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Atņemiet 624 no abām pusēm.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Atņemiet 624 no 192, lai iegūtu -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Daliet abas puses ar 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx-108. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 12.

$$a=-6 b=18$$

Pārrakstiet x^{2}+12x-108 kā \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Sadaliet x pirmo un 18 otrajā grupā.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-6 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-6=0 un x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Reiziniet vienādojuma abas puses ar 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Skaitļa \sqrt{3} kvadrāts ir 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Reiziniet 16 un 3, lai iegūtu 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Noīsiniet lielāko kopējo reizinātāju 2 šeit: 8 un 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Lai kāpinātu izteiksmi \frac{x\sqrt{3}}{2}, kāpiniet gan skaitītāju, gan saucēju atbilstoši pakāpei, un pēc tam veiciet dalīšanu.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Lai saskaitītu vai atņemtu izteiksmes, izvērsiet tās, vienādojot saucējus. Reiziniet 48 reiz \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Tā kā \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} un \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} ir viens un tas pats saucējs, saskaitiet tos, saskaitot to skaitītājus.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4 ar \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Aprēķiniet 2 pakāpē 2 un iegūstiet 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Reiziniet 48 un 4, lai iegūtu 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Paplašiniet \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Skaitļa \sqrt{3} kvadrāts ir 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Aprēķiniet 2 pakāpē 2 un iegūstiet 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Izsakiet 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} kā vienu daļskaitli.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Saīsiniet 4 un 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Skaitļa \sqrt{3} kvadrāts ir 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Reiziniet 16 un 3, lai iegūtu 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Savelciet x^{2}\times 3 un x^{2}, lai iegūtu 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Atņemiet 624 no abām pusēm.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Atņemiet 624 no 192, lai iegūtu -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar 48 un c ar -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Kāpiniet 48 kvadrātā.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -16 reiz -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 2304 pie 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-48±96}{8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -48 pie 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Daliet 48 ar 8.

$$x=6$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-48±96}{8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 96 no -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Daliet -144 ar 8.

$$x=-18$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=6 x=-18$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Reiziniet vienādojuma abas puses ar 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Skaitļa \sqrt{3} kvadrāts ir 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Reiziniet 16 un 3, lai iegūtu 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Noīsiniet lielāko kopējo reizinātāju 2 šeit: 8 un 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Lai kāpinātu izteiksmi \frac{x\sqrt{3}}{2}, kāpiniet gan skaitītāju, gan saucēju atbilstoši pakāpei, un pēc tam veiciet dalīšanu.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Lai saskaitītu vai atņemtu izteiksmes, izvērsiet tās, vienādojot saucējus. Reiziniet 48 reiz \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Tā kā \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} un \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} ir viens un tas pats saucējs, saskaitiet tos, saskaitot to skaitītājus.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4 ar \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Aprēķiniet 2 pakāpē 2 un iegūstiet 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Reiziniet 48 un 4, lai iegūtu 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Paplašiniet \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Skaitļa \sqrt{3} kvadrāts ir 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Aprēķiniet 2 pakāpē 2 un iegūstiet 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Izsakiet 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} kā vienu daļskaitli.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Saīsiniet 4 un 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Skaitļa \sqrt{3} kvadrāts ir 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Reiziniet 16 un 3, lai iegūtu 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Savelciet x^{2}\times 3 un x^{2}, lai iegūtu 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Atņemiet 192 no abām pusēm.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Atņemiet 192 no 624, lai iegūtu 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Daliet 48 ar 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Daliet 432 ar 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Daliet locekļa x koeficientu 12 ar 2, lai iegūtu 6. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet 6 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Kāpiniet 6 kvadrātā.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Pieskaitiet 108 pie 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+12x+36. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Vienkāršojiet.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Atņemiet 6 no vienādojuma abām pusēm.

$$x=6 x=-18$$