Atrisiniet (3x-4)^2-(x+3)^2=0

$$( 3 x - 4 ) ^ { 2 } - ( x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

Atrast x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Lai atrastu x^{2}+6x+9 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Savelciet 9x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Savelciet -24x un -6x, lai iegūtu -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Atņemiet 9 no 16, lai iegūtu 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 8x^{2}+ax+bx+7. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-30 ab=8\times 7=56$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -30.

$$a=-28 b=-2$$

Pārrakstiet 8x^{2}-30x+7 kā \left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)$$

Sadaliet 4x pirmo un -1 otrajā grupā.

$$4x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 2x-7 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2x-7\right)\left(4x-1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 2x-7=0 un 4x-1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Lai atrastu x^{2}+6x+9 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Savelciet 9x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Savelciet -24x un -6x, lai iegūtu -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Atņemiet 9 no 16, lai iegūtu 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 8, b ar -30 un c ar 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Kāpiniet -30 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Reiziniet -4 reiz 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\times 7}}{2\times 8}$$

Reiziniet -32 reiz 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 8}$$

Pieskaitiet 900 pie -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 8}$$

Skaitļa -30 pretstats ir 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 8}$$

Reiziniet 2 reiz 8.

$$x=\frac{30±26}{16}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{30±26}{16}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 30 pie 26.

$$x=\frac{56}{16}$$

Vienādot daļskaitli \frac{56}{16} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{30±26}{16}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 26 no 30.

$$x=\frac{4}{16}$$

Vienādot daļskaitli \frac{4}{16} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Lai atrastu x^{2}+6x+9 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Savelciet 9x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Savelciet -24x un -6x, lai iegūtu -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Atņemiet 9 no 16, lai iegūtu 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Atņemiet 7 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$8x^{2}-30x=-7$$

Daliet abas puses ar 8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=-\frac{7}{8}$$

Dalīšana ar 8 atsauc reizināšanu ar 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=-\frac{7}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-30}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{7}{8}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{15}{4} ar 2, lai iegūtu -\frac{15}{8}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{15}{8} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{15}{8}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{7}{8}+\frac{225}{64}$$

Pieskaitiet -\frac{7}{8} pie \frac{225}{64}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{169}{64}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{13}{8}$$

Pieskaitiet \frac{15}{8} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$