Atrisiniet (3+2y)^2+2y^2=3

$$( 3 + 2 y ) ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 3$$

Atrast y

$$y=-1$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Savelciet 4y^{2} un 2y^{2}, lai iegūtu 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Atņemiet 3 no abām pusēm.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Atņemiet 3 no 9, lai iegūtu 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Daliet abas puses ar 6.

$$1+2y+y^{2}=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā y^{2}+ay+by+1. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=2 ab=1\times 1=1$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Sistēmas atrisinājums ir tikai šāds pāris.

$$a=1 b=1$$

Pārrakstiet y^{2}+2y+1 kā \left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right)$$

Iznesiet reizinātāju y pirms iekavām izteiksmē y^{2}+y.

$$y\left(y+1\right)+y+1$$

Iznesiet kopējo reizinātāju y+1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(y+1\right)\left(y+1\right)$$

Pārveidojiet par binoma kvadrātu.

$$\left(y+1\right)^{2}$$

Lai atrisinātu vienādojumu, atrisiniet y+1=0.

$$y=-1$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Savelciet 4y^{2} un 2y^{2}, lai iegūtu 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Atņemiet 3 no abām pusēm.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Atņemiet 3 no 9, lai iegūtu 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$6y^{2}+12y+6=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 6, b ar 12 un c ar 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Kāpiniet 12 kvadrātā.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Reiziniet -4 reiz 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-24\times 6}}{2\times 6}$$

Reiziniet -24 reiz 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 6}$$

Pieskaitiet 144 pie -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 6}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 0.

$$y=-\frac{12}{2\times 6}$$

Reiziniet 2 reiz 6.

$$y=-\frac{12}{12}$$

Daliet -12 ar 12.

$$y=-1$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Savelciet 4y^{2} un 2y^{2}, lai iegūtu 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Atņemiet 9 no abām pusēm.

$$12y+6y^{2}=3-9$$

Atņemiet 9 no 3, lai iegūtu -6.

$$12y+6y^{2}=-6$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+12y=-6$$

Daliet abas puses ar 6.

$$\frac{6y^{2}+12y}{6}=-\frac{6}{6}$$

Dalīšana ar 6 atsauc reizināšanu ar 6.

$$y^{2}+\frac{12}{6}y=-\frac{6}{6}$$

Daliet 12 ar 6.

$$y^{2}+2y=-\frac{6}{6}$$

Daliet -6 ar 6.

$$y^{2}+2y=-1$$

Daliet locekļa x koeficientu 2 ar 2, lai iegūtu 1. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet 1 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$y^{2}+2y+1^{2}=-1+1^{2}$$

Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$y^{2}+2y+1=-1+1$$

Pieskaitiet -1 pie 1.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Sadaliet reizinātājos y^{2}+2y+1. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=0$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vienkāršojiet.

$$y+1=0 y+1=0$$

Atņemiet 1 no vienādojuma abām pusēm.

$$y=-1 y=-1$$

Vienādojums tagad ir atrisināts. Risinājumi ir tie paši.

$$y=-1$$