Atrisiniet (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Atrast x

$$x=8$$

$$x=15$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Savelciet x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Aprēķiniet 17 pakāpē 2 un iegūstiet 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Atņemiet 289 no abām pusēm.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Atņemiet 289 no 529, lai iegūtu 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Daliet abas puses ar 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx+120. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -23.

$$a=-15 b=-8$$

Pārrakstiet x^{2}-23x+120 kā \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Sadaliet x pirmo un -8 otrajā grupā.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-15 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-15=0 un x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Savelciet x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Aprēķiniet 17 pakāpē 2 un iegūstiet 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Atņemiet 289 no abām pusēm.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Atņemiet 289 no 529, lai iegūtu 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 2, b ar -46 un c ar 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Kāpiniet -46 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Reiziniet -4 reiz 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Reiziniet -8 reiz 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Pieskaitiet 2116 pie -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Skaitļa -46 pretstats ir 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{46±14}{4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 46 pie 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Daliet 60 ar 4.

$$x=15$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{46±14}{4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 14 no 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Daliet 32 ar 4.

$$x=8$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=15 x=8$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Savelciet x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Aprēķiniet 17 pakāpē 2 un iegūstiet 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Atņemiet 529 no abām pusēm.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Atņemiet 529 no 289, lai iegūtu -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Daliet abas puses ar 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Dalīšana ar 2 atsauc reizināšanu ar 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Daliet -46 ar 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Daliet -240 ar 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Daliet locekļa x koeficientu -23 ar 2, lai iegūtu -\frac{23}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{23}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{23}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Pieskaitiet -120 pie \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Pieskaitiet \frac{23}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=15 x=8$$