Atrisiniet (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Atrast x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Lai atrastu x^{2}+10x+25 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Savelciet -12x un -10x, lai iegūtu -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Atņemiet 25 no 9, lai iegūtu -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Pievienot 23 abās pusēs.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Saskaitiet -16 un 23, lai iegūtu 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 3x^{2}+ax+bx+7. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -22.

$$a=-21 b=-1$$

Pārrakstiet 3x^{2}-22x+7 kā \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Sadaliet 3x pirmo un -1 otrajā grupā.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-7 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-7=0 un 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Lai atrastu x^{2}+10x+25 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Savelciet -12x un -10x, lai iegūtu -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Atņemiet 25 no 9, lai iegūtu -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Pievienot 23 abās pusēs.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Saskaitiet -16 un 23, lai iegūtu 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar -22 un c ar 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Kāpiniet -22 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 484 pie -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Skaitļa -22 pretstats ir 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{22±20}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 22 pie 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Daliet 42 ar 6.

$$x=7$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{22±20}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 20 no 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Lai atrastu x^{2}+10x+25 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Savelciet -12x un -10x, lai iegūtu -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Atņemiet 25 no 9, lai iegūtu -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Pievienot 16 abās pusēs.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Saskaitiet -23 un 16, lai iegūtu -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{22}{3} ar 2, lai iegūtu -\frac{11}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{11}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{11}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Pieskaitiet -\frac{7}{3} pie \frac{121}{9}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Pieskaitiet \frac{11}{3} abās vienādojuma pusēs.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$