Atrisiniet (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Atrast x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x+3 ar x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x-4 ar x+40 un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Savelciet 3x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Savelciet -32x un 36x, lai iegūtu 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Atņemiet 160 no -48, lai iegūtu -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2 ar x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x-8 ar x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Atņemiet 2x^{3} no abām pusēm.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Savelciet 2x^{3} un -2x^{3}, lai iegūtu 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Pievienot 32x abās pusēs.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Savelciet 4x un 32x, lai iegūtu 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Pievienot 8x^{2} abās pusēs.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Savelciet 4x^{2} un 8x^{2}, lai iegūtu 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Atņemiet 128 no abām pusēm.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Atņemiet 128 no -208, lai iegūtu -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Daliet abas puses ar 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx-28. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 3.

$$a=-4 b=7$$

Pārrakstiet x^{2}+3x-28 kā \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Sadaliet x pirmo un 7 otrajā grupā.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-4 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-4=0 un x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x+3 ar x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x-4 ar x+40 un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Savelciet 3x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Savelciet -32x un 36x, lai iegūtu 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Atņemiet 160 no -48, lai iegūtu -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2 ar x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x-8 ar x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Atņemiet 2x^{3} no abām pusēm.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Savelciet 2x^{3} un -2x^{3}, lai iegūtu 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Pievienot 32x abās pusēs.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Savelciet 4x un 32x, lai iegūtu 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Pievienot 8x^{2} abās pusēs.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Savelciet 4x^{2} un 8x^{2}, lai iegūtu 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Atņemiet 128 no abām pusēm.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Atņemiet 128 no -208, lai iegūtu -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 12, b ar 36 un c ar -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Kāpiniet 36 kvadrātā.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Reiziniet -4 reiz 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Reiziniet -48 reiz -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Pieskaitiet 1296 pie 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Reiziniet 2 reiz 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-36±132}{24}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -36 pie 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Daliet 96 ar 24.

$$x=4$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-36±132}{24}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 132 no -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Daliet -168 ar 24.

$$x=-7$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=4 x=-7$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x+3 ar x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x-4 ar x+40 un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Savelciet 3x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Savelciet -32x un 36x, lai iegūtu 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Atņemiet 160 no -48, lai iegūtu -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2 ar x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x-8 ar x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Atņemiet 2x^{3} no abām pusēm.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Savelciet 2x^{3} un -2x^{3}, lai iegūtu 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Pievienot 32x abās pusēs.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Savelciet 4x un 32x, lai iegūtu 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Pievienot 8x^{2} abās pusēs.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Savelciet 4x^{2} un 8x^{2}, lai iegūtu 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Pievienot 208 abās pusēs.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Saskaitiet 128 un 208, lai iegūtu 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Daliet abas puses ar 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Dalīšana ar 12 atsauc reizināšanu ar 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Daliet 36 ar 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Daliet 336 ar 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Daliet locekļa x koeficientu 3 ar 2, lai iegūtu \frac{3}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{3}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{3}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Pieskaitiet 28 pie \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Atņemiet \frac{3}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=4 x=-7$$