Atrisiniet (2x+1)^2=1+(x-1)(x+1)

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 1 + ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Atrast x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Apsveriet \left(x-1\right)\left(x+1\right). Reizināšanu var pārvērst par kvadrātu starpību, izmantojot šo kārtulu: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Atņemiet 1 no 1, lai iegūtu 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 3x^{2}+ax+bx+1. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Sistēmas atrisinājums ir tikai šāds pāris.

$$a=1 b=3$$

Pārrakstiet 3x^{2}+4x+1 kā \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Iznesiet reizinātāju x pirms iekavām izteiksmē 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 3x+1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 3x+1=0 un x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Apsveriet \left(x-1\right)\left(x+1\right). Reizināšanu var pārvērst par kvadrātu starpību, izmantojot šo kārtulu: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Atņemiet 1 no 1, lai iegūtu 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar 4 un c ar 1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kāpiniet 4 kvadrātā.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 16 pie -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-4±2}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -4 pie 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-2}{6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-4±2}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2 no -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Daliet -6 ar 6.

$$x=-1$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Apsveriet \left(x-1\right)\left(x+1\right). Reizināšanu var pārvērst par kvadrātu starpību, izmantojot šo kārtulu: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Atņemiet 1 no 1, lai iegūtu 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Atņemiet 1 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{4}{3} ar 2, lai iegūtu \frac{2}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{2}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{2}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{3} pie \frac{4}{9}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Atņemiet \frac{2}{3} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$