Atrisiniet (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Atrast x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Aprēķiniet 100 pakāpē 2 un iegūstiet 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Saskaitiet 10000 un 10000, lai iegūtu 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Atņemiet 4x^{2} no abām pusēm.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Savelciet x^{2} un -4x^{2}, lai iegūtu -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Atņemiet 400x no abām pusēm.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Savelciet 200x un -400x, lai iegūtu -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Atņemiet 10000 no abām pusēm.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Atņemiet 10000 no 20000, lai iegūtu 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -3x^{2}+ax+bx+10000. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -30000.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -200.

$$a=100 b=-300$$

Pārrakstiet -3x^{2}-200x+10000 kā \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

Sadaliet -x pirmo un -100 otrajā grupā.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 3x-100 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 3x-100=0 un -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Aprēķiniet 100 pakāpē 2 un iegūstiet 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Saskaitiet 10000 un 10000, lai iegūtu 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Atņemiet 4x^{2} no abām pusēm.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Savelciet x^{2} un -4x^{2}, lai iegūtu -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Atņemiet 400x no abām pusēm.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Savelciet 200x un -400x, lai iegūtu -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Atņemiet 10000 no abām pusēm.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Atņemiet 10000 no 20000, lai iegūtu 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -3, b ar -200 un c ar 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Kāpiniet -200 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Reiziniet 12 reiz 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Pieskaitiet 40000 pie 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

Skaitļa -200 pretstats ir 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{200±400}{-6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 200 pie 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Daliet 600 ar -6.

$$x=-100$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{200±400}{-6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 400 no 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-200}{-6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Aprēķiniet 100 pakāpē 2 un iegūstiet 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Saskaitiet 10000 un 10000, lai iegūtu 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Atņemiet 4x^{2} no abām pusēm.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Savelciet x^{2} un -4x^{2}, lai iegūtu -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Atņemiet 400x no abām pusēm.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Savelciet 200x un -400x, lai iegūtu -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Atņemiet 20000 no abām pusēm.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Atņemiet 20000 no 10000, lai iegūtu -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Daliet abas puses ar -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Dalīšana ar -3 atsauc reizināšanu ar -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Daliet -200 ar -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Daliet -10000 ar -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{200}{3} ar 2, lai iegūtu \frac{100}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{100}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{100}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Pieskaitiet \frac{10000}{3} pie \frac{10000}{9}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Atņemiet \frac{100}{3} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$