Atrisiniet (x^2-5x+3)=8

$$( { x }^{ 2 } -5x+3)=8$$

Atrast x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 5}{2} \approx 5,854101966$$

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}\approx -0,854101966$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Atņemiet 8 no vienādojuma abām pusēm.

$$x^{2}-5x+3-8=8-8$$

Atņemot 8 no sevis, paliek 0.

$$x^{2}-5x+3-8=0$$

Atņemiet 8 no 3.

$$x^{2}-5x-5=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -5 un c ar -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Kāpiniet -5 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-5\right)}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+20}}{2}$$

Pieskaitiet 25 pie 20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 45.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Skaitļa -5 pretstats ir 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 5 pie 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 3\sqrt{5} no 5.

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Atņemiet 3 no vienādojuma abām pusēm.

$$x^{2}-5x+3-3=8-3$$

Atņemot 3 no sevis, paliek 0.

$$x^{2}-5x=8-3$$

Atņemiet 3 no 8.

$$x^{2}-5x=5$$

Daliet locekļa x koeficientu -5 ar 2, lai iegūtu -\frac{5}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{5}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{5}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=5+\frac{25}{4}$$

Pieskaitiet 5 pie \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Pieskaitiet \frac{5}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$